Սոսնձման համար իկոսաեդրոնի դիագրամ. Ինչպես պատրաստել սովորական icosahedron

Իկոսաեդրոնը կանոնավոր բազմանկյուն է։ Այս երկրաչափական պատկերն ունի 30 եզր, 20 եռանկյուն դեմք և 12 գագաթ՝ տեղադրելով հինգ եզրերի միջերեսը: Թղթից իկոսաեդրոն հավաքելը բավականին դժվար է, բայց շատ հետաքրքիր։

Այն կարող է պատրաստվել ծալքավոր թղթից, փաթեթավորման կամ գունավոր թղթից, փայլաթիթեղից: Տարբեր նյութերի օգնությամբ դրանք կարող են էլ ավելի մեծ ազդեցություն ունենալ, իսկ նրանց գեղեցկությունը փոխանցվում է իկոսաեդրոնին։

Այն, ինչ ձեզ հարկավոր է

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի.

• icosahedron դասավորություն;
• թուղթ;
• մկրատ;
• քանոն;
• սոսինձ.

Իրականացման ուղեցույց

1. Տպեք իկոսաեդրոնի դասավորությունը թղթի վրա, այնուհետև կտրեք այն կետավոր գծերի երկայնքով: Դա անհրաժեշտ է ֆիգուրների մասերը միմյանց սոսնձելու համար տեղ բացելու համար։ Փորձեք որքան հնարավոր է դանդաղ կտրել իկոսաեդրոնը, այլապես ամենափոքր փոփոխության դեպքում նրա ճեղքը տգեղ տեսք կունենա:

Դուք պետք է շատ ուշադիր կտրեք այն փաստը, որ կանոնավոր իկոսաեդրոնի բոլոր եռանկյունները նույն էջն են: Այսպիսով, եթե Պայմանավորվող կողմերից մեկը տարբերվում է դրանց երկարությամբ, արդյունքում առաջացող չափերի անհամապատասխանությունը նկատելի կլինի:

2. Սիկոզաեդրոնը ծալեք ամուր գծերի երկայնքով, այնուհետև սոսինձով կպցրեք կետագծով ուրվագծված տեղերը և միացրեք դրանք եռանկյունների հարակից կողմերում: Կպչուն ժապավենով յուրաքանչյուր կողմն ապահով պահելու համար հարկավոր է այն պահել այս դիրքում 20 վայրկյան: Նաև սոսինձ, իկոսաեդրոնի բոլոր մյուս կողմերը: Վերջին երկու կողիկներն ամենադժվարն են սոսնձման համար, քանի որ դրանք միացնելը պահանջում է համբերություն և հմտություն: Ձեր իկոսաեդրոնային թղթերը պատրաստ են։3. Նման երկրաչափական պատկեր կարելի է տեսնել առօրյա կյանքում։ Օրինակ, ֆուտբոլում ստացվում է իկոսաեդրոնի ձևը (բազմանկյուն, որը բաղկացած է 20 վեցանկյունից և 12 հնգանկյունից): Սա հատկապես նկատելի կլինի, եթե ստացված իկոսաեդրոնը ներկված լինի սև և սպիտակ գույնով: Թղթե ֆուտբոլ, որը կարող եք ինքներդ պատրաստել, նախապես սեղմեք 2 օրինակով, սկանավորեք իկոսաեդրոնը:

4. Թղթից իկոսաեդրոններ պատրաստելը հետաքրքրաշարժ գործընթաց է, որը պահանջում է համբերություն, ուշադրություն և շատ թուղթ: Բայց արդյունքը երկար ժամանակ կուրախացնի աչքին։ Թղթե իկոսաեդրոնը որպես երեխայի խաղալիքների զարգացման ուղղություն կարող է տալ 3 տարեկանում։

Այս երկրաչափական պատկերի հետ խաղալով՝ փոքրիկը ոչ միայն տարածական հմտություններ և երևակայական մտածողություն կզարգացնի, այլև ավելի կծանոթանա երկրաչափական աշխարհին։

Մեծահասակ, ստեղծագործական գործընթաց իկոսաեդրոն թղթի ձևավորման ոլորտում իր ձեռքերով, ժամանակ անցկացնելու, բայց նաև իր սիրելիներին զարմացնելու բարդ ձևեր ստեղծելու ունակությամբ:

Ձեր սեփական ձեռքերով արհեստներ ստեղծելը հետաքրքիր է ոչ միայն երեխաների, այլև մեծահասակների համար: Այնուամենայնիվ, մեծահասակների համար հորինվել են բավական քանակությամբ մոդելներ, որոնք տարբերվում են իրականացման բարդությամբ և դրանց ստեղծման վրա ծախսված ժամանակով։ Վերջերս մեծահասակները և երեխաները հետաքրքրված են բարդ երկրաչափական ձևեր ստեղծելով: Այս տեսակի պատկերը ներառում է իկոսաեդրոնը, որը կանոնավոր բազմանկյուն է և հանդիսանում է պլատոնական պինդ մարմիններից մեկը՝ կանոնավոր բազմանիստ։ Այս պատկերն ունի 20 եռանկյուն երես (հավասարակողմ եռանկյուն), 30 եզր և 12 գագաթ, որոնք 5 եզրերի միացումն են։ Թղթից ճիշտ իկոսաեդրոն հավաքելը բավականին դժվար է, բայց հետաքրքիր: Եթե ​​դուք կրքոտ եք օրիգամիով, ապա ձեր սեփական ձեռքերով թղթե իկոսաեդրոն պատրաստելը ձեզ համար դժվար չի լինի։ Պատրաստված է գունավոր, ծալքավոր թղթից, փայլաթիթեղից և ծաղիկների փաթեթավորման թղթից։ Օգտագործելով տարբեր նյութեր՝ դուք կարող եք էլ ավելի մեծ գեղեցկություն և արդյունավետություն հաղորդել ձեր իկոսաեդրոնին: Ամեն ինչ կախված է միայն դրա ստեղծողի երևակայությունից և սեղանի վրա առկա նյութից։

Մենք առաջարկում ենք ձեզ իկոսաեդրոն մշակումների մի քանի տարբերակ, որոնք կարելի է տպել, տեղափոխել հաստ թղթի և ստվարաթղթի վրա, ծալել գծերի երկայնքով և սոսնձել։

Ինչպես պատրաստել իկոսաեդրոն թղթից. դիագրամ

Թղթի կամ ստվարաթղթից իկոսաեդրոն հավաքելու համար նախ պետք է պատրաստել հետևյալ նյութերը.

• icosahedron դասավորություն;
• PVA սոսինձ;
• մկրատ;
• քանոն.

Իկոսաեդրոն ստեղծելիս պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնել բոլոր մասերի թեքման գործընթացին՝ թուղթը հավասարաչափ ծալելու համար կարելի է սովորական քանոն օգտագործել։

Հատկանշական է, որ իկոսաեդրոնը կարելի է գտնել նաև առօրյա կյանքում։ Օրինակ՝ ֆուտբոլի գնդակը պատրաստվում է կտրված պատկերաձևի տեսքով (բազմանկյուն, որը բաղկացած է 12 հնգանկյունից և 20 վեցանկյունից՝ կանոնավոր ձևով)։ Սա հատկապես տեսանելի է, եթե ստացված իկոսաեդրոնը գունավորեք սև ու սպիտակ գույնով, ինչպես հենց գնդակը:

Դուք ինքներդ կարող եք նման ֆուտբոլային գնդակ պատրաստել՝ նախ տպելով կտրված իկոսաեդրոնի սկան 2 օրինակով.

Սեփական ձեռքերով իկոսաեդրոն ստեղծելը հետաքրքիր գործընթաց է, որը պահանջում է խոհեմություն, համբերություն և շատ թուղթ: Այնուամենայնիվ, վերջնական արդյունքը երկար ժամանակ կուրախացնի աչքը։ Սիկոսահեդրոնը կարելի է տալ երեխային խաղալու համար, եթե նա արդեն երեք տարեկան է: Նման բարդ երկրաչափական կերպարի հետ խաղալով՝ նա կզարգացնի ոչ միայն երևակայական մտածողությունը և տարածական հմտությունները, այլև կծանոթանա երկրաչափության աշխարհին։ Եթե ​​չափահասը որոշի ինքնուրույն ստեղծել իկոսաեդրոն, ապա իկոսաեդրոնի կառուցման նման ստեղծագործական գործընթացը թույլ կտա նրան ժամանակ անցկացնել և նաև ցույց տալ իր սիրելիներին բարդ ձևեր ստեղծելու կարողությունը:

Շատերը սիրում են կեղծիքներ ստեղծել թղթից, և դա ամենևին էլ կախված չէ նրանց տարիքից, և՛ երեխաները, և՛ մեծահասակները ենթակա են այս գործունեությանը: Միակ տարբերությունն այն է, որ մեծահասակները սիրում են ավելի բարդ ձևեր ստեղծել: Չգիտես ինչու, հատկապես հաճախ են ստեղծվում երկրաչափական ձևեր։ Մեր հոդվածում մենք ձեզ կասենք, թե ինչպես կարելի է թղթից իկոսաեդրոն պատրաստել: Սա կոչվում է բարդ, կանոնավոր բազմանկյունին, որն ունի քսան եռանկյուն երես և երեսուն եզր: Ինչպես նկատել եք, այս ցուցանիշը բավականին բարդ է արտաքին տեսքով: Նույնիսկ եթե դուք նորեկ եք օրիգամիի հետ, մեր մեթոդը բարդ չի թվա, և դուք հեշտությամբ կարող եք սոսնձել այն թղթից։

Այն պատրաստելու համար օգտագործվող նյութերի բազմազանության մեջ կարող եք վերցնել հետևյալը՝ ծալքավոր թուղթ, փայլաթիթեղ, նվերներ փաթաթելու կամ ծաղիկների թուղթ: Տարբեր այլ նյութերի օգնությամբ դուք կարող եք բարելավել ձեր կազմվածքը և զարդարել այն։ Մի սահմանափակեք ձեր երևակայությունն այս հարցում, և դա կօգնի ձեզ։

Նախքան սկսելը, դուք պետք է պատրաստվեք. Դրա համար կարող եք օգտակար գտնել հետևյալ նյութերը.

1. Դատարկ գործիչ, որը պետք է փոխանցվի մեր գործչի նյութին:
2. Սոսինձ. Ավելի լավ է օգտագործել PVA - այն չորանում է այնքան երկար, որպեսզի դուք ուղղեք սխալները սոսնձման ժամանակ:
3. Մկրատ.
4. Քանոն.

Բոլոր անհրաժեշտ բաղադրիչները ձեռք բերելուց հետո կարող եք սկսել աշխատանքը: Այժմ մենք կներկայացնենք մի դիագրամ, որով կարելի է կազմել այս ցուցանիշը.

Այսպիսով, մեր արձանիկը պատրաստ է, և այժմ կարող եք սկսել այն զարդարել: Այն կարելի է ներկել ներկերով կամ մատիտներով, կամ կախել թելից։ Տարբեր կայծեր և անձրևի կտորներ նույնպես կատարյալ են: Շատ հաճախ նման զարդը կարելի է օգտագործել որպես ամանորյա եղևնի զարդարանք։ Բացի այդ, դուք կարող եք իսկապես զվարճալի բան անել, օգտագործելով icosahedrons, մասնավորապես ֆուտբոլի գնդակը, որը կտրված կերպար է: Եթե ​​ուշադիր զննեք, կնկատեք, որ այն բաղկացած է տասներկու հնգանկյուններից և քսան վեցանկյուններից, որոնք նույն չափի են։ Ներկված արձանիկը հիանալի տեսք կունենա, իսկ պարզ տարրերի տարբեր գույներն էլ ավելի կցուցադրեն տարբերությունը:

Եթե ​​այս գաղափարը ձեզ հետաքրքրում է, ապա ստորև ներկայացնում ենք զարգացում, որով կարող եք գնդակ պատրաստել.

Ինչպես տեսնում եք, թղթե ֆիգուրներ ստեղծելը շատ հետաքրքիր գործընթաց է: Երբ սովորեք, թե ինչպես պատրաստել իկոսաեդրոն, կարող եք անցնել այլ, ավելի բարդ երկրաչափական ձևերի: Սա հատկապես օգտակար է երեխաների համար, ովքեր վաղ տարիքից կարող են զարգացնել տարածական մտածողությունը, սովորել երկրաչափություն և բարելավել նուրբ շարժիչ հմտությունները: Եթե ​​երեխան շատ փոքր է, ապա կարող է պահանջվել ծնողների օգնությունը, այնուամենայնիվ, նա հաճույքով ինքնուրույն կխաղա պատրաստի խաղալիքի հետ։ Այնուամենայնիվ, այս գործունեությունը օգտակար կլինի նաև մեծահասակների համար. սա հիանալի հոբբի է, որը կարող է օգնել ձեզ հանգստանալ կամ պարզապես ժամանակ անցկացնել: Եթե ​​դուք սիրում եք ոչ տքնաջան և ուշադրություն պահանջող աշխատանք, ապա այս գործունեությունը հենց այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Հուսով ենք, որ մեր հոդվածը, թե ինչպես կարելի է թղթից իկոսաեդրոն պատրաստել, ձեզ հետաքրքրեց: Թերևս հենց այս ցուցանիշով է, որ դուք կսկսեք թղթե արհեստներ պատրաստել: Հաջողություն և հաջողություն ձեր բոլոր ջանքերում:

Տեսադասեր

Դիտարկենք ամենատարածված մարմինների երկրաչափական մոդելների կառուցման ալգորիթմները, որոնք հաճախ օգտագործվում են որպես հիմնական տարրեր ավելի բարդ մոդելներ կառուցելիս։

4.4.1. Կանոնավոր պոլիեդրների կառուցում

Կանոնավոր բազմանիստները (Պլատոնական պինդ մարմինները) ուռուցիկ բազմանիստներ են, այնպես որ բոլոր դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, իսկ գագաթներում գտնվող բոլոր բազմանիստ անկյունները հավասար են միմյանց:

Կան ուղիղ 5 կանոնավոր բազմաեդրներ՝ կանոնավոր քառաեդրոն, վեցանիստ (խորանարդ), ութանիստ, տասներկաթև և իկոսաեդրոն: Նրանց հիմնական բնութագրերը տրված են հետևյալ աղյուսակում: 4.2.

Դեմքերը, եզրերը և գագաթները միմյանց հետ կապված են Հեյ-հավասարությամբ:

G + B = P + 2:

Կանոնավոր բազմանիստը ուռուցիկության պատճառով ամբողջությամբ նկարագրելու համար բավական է նշել նրա բոլոր գագաթները գտնելու մեթոդը։ Խորանարդը (վեցանկյուն) շատ հեշտ է կառուցել: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են կառուցված մնացած մարմինները:

Տետրաեդրոն կառուցելու համար նախ կառուցվում է խորանարդ, որի հակառակ երեսների վրա գծվում են խաչմերուկներ: Այսպիսով, քառանիստի գագաթները խորանարդի ցանկացած 4 գագաթներ են, որոնք զույգ-զույգ կից չեն նրա եզրերից որևէ մեկին (նկ. 4.1):

Բրինձ. 4.1. Կառուցելով խորանարդ, քառաեդրոն և ութանիստ

Ութանիստ կառուցելու համար նախ կառուցվում է խորանարդ: Ութանիստի գագաթները խորանարդի երեսների ծանրության կենտրոններն են (նկ. 4.1), ինչը նշանակում է, որ ութանիստի յուրաքանչյուր գագաթը նրա դեմքը կազմող չորս գագաթների համանուն կոորդինատների թվաբանական միջինն է։ խորանարդը.

4.4.2. Իկոսաեդրոնի կառուցում

Իկոսաեդրոնը և տասներեքագեդրոնը կարող են կառուցվել նաև խորանարդի միջոցով: Այնուամենայնիվ, կա նախագծման ավելի պարզ միջոց.

- h=1 հեռավորության վրա կառուցված են միավորի շառավղով երկու շրջան;

- Շրջանակներից յուրաքանչյուրը բաժանված է 5 հավասար մասերի, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.2.

- Շրջանակների երկայնքով շարժվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մենք համարակալում ենք ընտրված 10 կետերը պտտման անկյունի մեծացման կարգով և այնուհետև հաջորդաբար, ըստ համարակալման, այս կետերը միացնում ենք ուղիղ հատվածներով.

- այնուհետև, օղակներից յուրաքանչյուրի վրա ընտրված կետերը ակորդներով սեղմելով, արդյունքում ստանում ենք 10 կանոնավոր եռանկյունների գոտի.

- Իկոսաեդրոնի կառուցումն ավարտելու համար մենք Z առանցքի վրա ընտրում ենք երկու կետ, որպեսզի հնգանկյուն բուրգերի կողային եզրերի երկարությունը այս կետերում գագաթներով և կառուցված հնգանկյունների հետ համընկնող հիմքերով հավասար լինի կողմերի երկարություններին: եռանկյունների գոտի. Դժվար չէ տեսնել, որ դա պահանջում է

Մենք ունենք միավորներ ± 5 2 հավելվածներով:

Նկարագրված կոնստրուկցիաների արդյունքում ստանում ենք 12 միավոր։ Այս կետերում գագաթներով ուռուցիկ բազմանիստը կունենա 20 երես, որոնցից յուրաքանչյուրը կանոնավոր եռանկյուն է, և նրա բոլոր

գագաթներում գտնվող բազմանիստ անկյունները հավասար կլինեն միմյանց: Այսպիսով, նկարագրված շինարարության արդյունքը իկոսաեդրոն է:

4.4.3. Տասնյակի և գնդիկի կառուցում

Դոդեկաեդրոն կառուցելու համար մենք կօգտագործենք երկակիության հատկությունը. տասներկուանիստի գագաթները իկոսաեդրոնի եռանկյուն երեսների կենտրոններն են (ձգողության): Սա նշանակում է, որ տասներկուանիստի յուրաքանչյուր գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել՝ հաշվարկելով իկոսաեդրոնի երեսների գագաթների համապատասխան կոորդինատների թվաբանական միջինը։

Գնդի մոդել կառուցելու համար մենք օգտագործում ենք նախկինում կառուցված իկոսաեդրոնը։ Նկատի ունեցեք, որ իկոսաեդրոնն արդեն ոլորտի մոդել է. բոլոր գագաթները գտնվում են նրա մակերեսի վրա, բոլոր դեմքերը հավասարակողմ եռանկյուններ են: Նրա միակ թերությունը եռանկյուն երեսների փոքր քանակն է՝ ոլորտի հարթ մակերեսը փոխանցելու համար։ Մոդելի մանրամասների մակարդակը բարձրացնելու համար օգտագործվում է հետևյալ ռեկուրսիվ ընթացակարգը.

յուրաքանչյուր եռանկյուն երես բաժանված է չորս մասի, նոր գագաթներ են վերցվում դեմքի կողքերի մեջտեղում, ինչպես ցույց է տրված Նկար 4.3-ում;

Բրինձ. 4.3. Icosahedron դեմք

նոր գագաթներ են նախագծվում ոլորտի մակերևույթի վրա, դրա համար գագաթի միջով ոլորտի կենտրոնից գծվում է ճառագայթ, և գագաթը տեղափոխվում է ճառագայթի հատման կետը ոլորտի մակերևույթի հետ.

Այս քայլերը կրկնվում են այնքան ժամանակ, մինչև ձեռք բերվի ոլորտի մակերևույթի դետալների անհրաժեշտ աստիճանը։

Դիտարկված ալգորիթմները թույլ են տալիս ստանալ հիմնական երկրաչափական մոդելների պարամետրերը։ Նմանապես դուք կարող եք կառուցել մխոցի, տորուսի և այլ մարմինների մոդելներ:

4.5. Ներկայացման բազմանդամ պարամետրային ձևեր

Բազմանկյուն մոդելներն ունեն մեկ էական թերություն՝ բարդ ձևերով մարմինների իրատեսական մոդել ստանալու համար անհրաժեշտ են տասնյակ հազարավոր բազմանկյուններ: Իրատեսական տեսարաններն արդեն հարյուր հազարավոր բազմանկյուններ ունեն: Հաշվարկների զգալի կրճատմամբ բարձրորակ մոդելներ ստանալու եղանակներից մեկը բազմանդամ պարամետրային ձևերի օգտագործումն է, որոնք օգտագործում են բազմանկյուն ցանց միայն կառավարման կետեր ստանալու համար։

4.5.1. Կորերի և մակերեսների ներկայացման ձևերը

Գոյություն ունեն կորերի և մակերևույթների մաթեմատիկական ներկայացման երեք հիմնական ձևեր՝ բացահայտ, անուղղակի, պարամետրային:

Երկչափ տարածության մեջ կորը նշելու հստակ ձևը հավասարումն է, որի ձախ կողմում կախված փոփոխականն է, իսկ աջ կողմում՝ ֆունկցիան, որի արգումենտը անկախ փոփոխականն է։

Իմպլիցիտ ձև երկչափ տարածության մեջ f(x, y) =0: Պարամետրային ձևով եռաչափ տարածության մեջ.

կորի հավասարում – x = x (u), y = y (u), z = z (u);

մակերեսային հավասարում – x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v):

Պարամետրային ձևի (PF) ներկայացման հիմնական առավելություններից մեկը դրա միատեսակությունն է երկչափ և եռաչափ տարածություններում: PF-ն, առաջին հերթին, առավել ճկունն է, և երկրորդը, դիմացկուն է օբյեկտների ձևի և կողմնորոշման ցանկացած տատանումների, ինչը նրան հատկապես հարմար է դարձնում համակարգչային գրաֆիկական համակարգերի մաթեմատիկական աջակցության համար:

Պարամետրային բազմանդամ կորեր և մակերեսներ

Օբյեկտները ներկայացնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, բայց մենք կկենտրոնանանք բազմանդամների վրա, այսինքն. u պարամետրի բոլոր ֆունկցիաները կորերը նկարագրելիս կամ u և v պարամետրերը մակերեսները նկարագրելիս բազմանդամներ են:

Դիտարկենք կորի հավասարումը.

p (u) = [ x (u) y (u) z (u)] T.

i = 0 j = 0

n աստիճանի բազմանդամ պարամետրային կորը (OpenGL-ը հաճախ օգտագործում է բազմանդամի «կարգ» տերմինը, որն ունի 1-ով ավելի արժեք, քան բազմանդամի աստիճանը)

Մատրիցը (c k), որը բաղկացած է n +1 սյունակներից, միավորում է p բաղադրիչների բազմանդամների գործակիցները; սա նշանակում է, որ մենք ունենք 3(n +1) աստիճանի ազատություն որոշակի p կորի գործակիցների ընտրության հարցում:

Կորը կարող է որոշվել u պարամետրի փոփոխության ցանկացած միջակայքում, բայց առանց դատողության ընդհանուրությունը կորցնելու, մենք կարող ենք ենթադրել, որ 0 ≤ u ≤ 1, այսինքն. որոշվում է կորի հատվածը.

Պարամետրային բազմանդամ մակերեսը նկարագրվում է հետևյալ հավասարմամբ.

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui v j.

z(u, v)

Այսպիսով, որոշակի մակերես p (u,v) որոշելու համար անհրաժեշտ է նշել 3(n +1)(m +1) գործակիցներ։ Վերլուծության ժամանակ դուք կարող եք վերցնել n=m և փոխել u և v պարամետրերը 0 ≤ ​​u, v ≤ 1 միջակայքում և որոշել մակերևույթի հատվածը (մակերևույթի հատվածը), որը ներկայացված է Նկ. 4.4.

Բրինձ. 4.4. Մակերեւույթի մի մասի սահմանում

Այս կերպ սահմանված մակերևույթի տարածքը կարող է համարվել որպես սահման, որին ձգտում են կորերի մի շարք, որոնք ձևավորվում են, երբ u ​​կամ v պարամետրերից մեկը անցնում է արժեքների միջով իր միջակայքում, իսկ մյուսը մնում է հաստատուն:

հստակ իմաստ. Ապագայում մենք նախ կսահմանենք բազմանդամ կորեր, ապա դրանք կօգտագործենք նմանատիպ բնութագրերով մակերես կազմելու համար:

Եկեք նկատենք բազմանդամ պարամետրային ներկայացման ձևի օգտագործման առավելությունները.

օբյեկտի ձևը տեղական վերահսկելու ունակություն.

սահունություն և շարունակականություն մաթեմատիկական իմաստով;

ածանցյալների վերլուծական հաշվարկի հնարավորությունը;

փոքր խանգարումների դիմադրություն;

համեմատաբար պարզ և հետևաբար բարձր արագությամբ տոնուսավորման մեթոդներ օգտագործելու ունակություն:

4.5.2. Պարամետրիկորեն սահմանված խորանարդ կորեր

Եթե ​​դուք օգտագործում եք շատ բարձր աստիճանի բազմանդամ, ապա ավելի շատ «ազատություն» կլինի, բայց ավելի շատ հաշվարկներ կպահանջվեն կետերի կոորդինատները հաշվարկելիս: Նաև ազատության աստիճանի բարձրացման հետ մեծանում է ալիքաձև կորի ստացման վտանգը։ Մյուս կողմից, չափազանց ցածր աստիճանի բազմանդամ ընտրելը մեզ շատ քիչ պարամետրեր կտա և չի կարողանա վերարտադրել կորի ձևը: Լուծում - կորը բաժանված է հատվածների, որոնք նկարագրված են ցածր աստիճանի բազմանդամներով:

Խորանարդ բազմանդամ կորը կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ.

p(u) = c0 + c1 u + c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

Այս արտահայտություններում c-ն ներկայացնում է բազմանդամի գործակիցների մատրիցը: Սա հենց այն է, ինչ պետք է հաշվարկվի տեղեկատու կետերի տվյալ համույթից: Հաջորդիվ կդիտարկենք խորանարդ կորերի տարբեր դասեր, որոնք տարբերվում են հղման կետերի հետ համեմատության բնույթով: Յուրաքանչյուր տիպի համար կստեղծվի 12 հավասարումների համակարգ 12 անհայտներով, բայց քանի որ x, y, z բաղադրիչների պարամետրային ֆունկցիաները անկախ են, այս 12 հավասարումները կբաժանվեն երեք խմբի 4 հավասարումների 4 անհայտներով:

Որոշակի տեսակի խորանարդ կորի գործակիցների արժեքների հաշվարկը կատարվում է անկախ պարամետրի որոշակի արժեքներին համապատասխանող հղման կետերի տվյալ անսամբլի միջոցով:

u. Այս տվյալները կարող են ունենալ սահմանափակումների ձև, որոնք պահանջում են, որ կորը անցնի տրված որոշ կետերով և այլ կետերի մոտակայքում: Բացի այդ, այս տվյալները որոշակի պայմաններ են պարտադրում կորի հարթության վրա, օրինակ՝ ածանցյալների շարունակականությունը առանձին հատվածների խոնարհման տվյալ կետերում։ Միևնույն հղման կետերի վրա ձևավորված տարբեր դասերի կորերը կարող են զգալիորեն տարբերվել:

4.5.3. Ինտերպոլացիա

Եռաչափ տարածության մեջ թող լինի չորս հղման կետ՝ p 0, p 1, p 2 և p 3: Յուրաքանչյուր կետ ներկայացված է իր կոորդինատների եռապատիկով.

p k = [ x k y k z k ] T .

Գտնենք c գործակցի մատրիցայի տարրերն այնպես, որ p(u)=u T c բազմանդամն անցնի տրված չորս հղման կետերով։

Լուծում. Կան չորս կետեր, մենք կազմում ենք 12 հավասարումներ 12 անհայտով՝ c մատրիցայի տարրեր: Մենք ենթադրում ենք, որ u k-ի արժեքները (k= 0,1,2,3) հավասարաչափ բաշխված են միջակայքում, այսինքն. u= 0.1/3.2/3.1. Մենք ստանում ենք հավասարումներ.

Եկեք այս հավասարումները գրենք մատրիցային ձևով՝ p=AC,

p = [ p 0 p 1 p 2 p 3 ] T

Վերլուծենք մատրիցը Ա. Եթե ​​p-ն և c-ն մեկնաբանենք որպես 12 տարրից բաղկացած սյունակային մատրիցներ, ապա մատրիցային բազմապատկման կանոնը չի պահպանվի։ Բայց մենք կարող ենք p և c-ն պատկերացնել որպես 4 տարրերի սյունակային մատրիցներ, որոնցից յուրաքանչյուրն իր հերթին տողերի մատրից է: Այնուհետև արդյունքի արդյունքում մենք ստանում ենք նույն տիպի տարր, ինչ սյունակի մատրիցայի տարրերը p. Մատրիցը եզակի չէ, այն կարող է շրջվել և հիմք ստանալ.

տերպոլացիայի մատրիցա.

Ունենալով M I-ի արժեքները, կարող եք հաշվարկել գործակիցների պահանջվող արժեքները c= M I /p:

Եթե ​​կորը նշված է ոչ թե 4, այլ m հղման կետերով, ապա այն կարելի է ներկայացնել (m -1) կարգի ինտերպոլացիոն բազմանդամով (հաշվարկել 3 × m գործակիցները՝ օգտագործելով նմանատիպ տեխնիկան)։ Դուք կարող եք դա անել այլ կերպ. համարեք, որ այս կորը բաղկացած է մի քանի հատվածներից, որոնցից յուրաքանչյուրը սահմանվում է 4 միավորի մեկ այլ խմբի կողմից: Շարունակականությունը կարելի է ապահովել՝ նախորդ խմբի վերջին աջակցության կետը համարելով հաջորդ խմբի առաջին աջակցության կետը: Յուրաքանչյուր հատվածում M I մատրիցները նույնն են լինելու, քանի որ u. Բայց այս դեպքում ածանցյալների ֆունկցիաները pa-ի նկատմամբ

Միացման կետերում հաշվիչն ընդմիջման կենթարկվի։

4.5.4. Միաձուլման ֆունկցիաներ (հսկիչ կետերի բազմանդամ կշռման ֆունկցիաներ)

Եկեք վերլուծենք ինտերպոլացիայի բազմանդամ կորերի հարթությունը: Դա անելու համար մենք վերագրում ենք նախկինում ստացված հարաբերությունները մի փոքր փոփոխված ձևով.

p(u) = uT с = uT M I p.

Այս հարաբերությունը կարելի է գրել այսպես՝ p (u) = b (u) T p,

b(u) = M I T u,

կա չորսի սյունակային մատրիցա բազմանդամ խառնիչ ֆունկցիաներ

բազմանդամների միաձուլում.

b (u) = [b 0 (u) b 1 (u) b 2 (u) b 3 (u)] T.

Յուրաքանչյուր խառնիչ ֆունկցիայի մեջ բազմանդամը խորանարդ է: Արտահայտելով p(u) բազմանդամների խառնման գումարը՝ ստանում ենք.

p (u) = b 0 (u) p 0 + b 1 (u) p 1 + b 2 (u) p 2 + b 3 (u) p 3 = ∑ b i (u) p i.

i=0

Այս հարաբերությունից հետևում է, որ բազմանդամ խառնիչ ֆունկցիաները բնութագրում են յուրաքանչյուր հղման կետի ներդրումը և, հետևաբար, հնարավորություն են տալիս գնահատել, թե կոնկրետ հղման կետի դիրքի փոփոխությունը որքանով կազդի վերջնական կորի ձևի վրա: Նրանց համար վերլուծական արտահայտություններ.

b 0 (u ) = − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1), b 1 (u ) = 27 2 u (u − 2 3 )(u − 1),

b 2 (u ) = − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1), b 3 (u ) = 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ) .

Որովհետեւ Գործառույթների բոլոր զրոները գտնվում են ինտերվալի վրա, այնուհետև դրանց արժեքները կարող են զգալիորեն փոխվել այս ընդմիջումով, և գործառույթներն իրենք միապաղաղ չեն (նկ. 4.5.): Այս բնութագրերը բխում են նրանից, որ ինտերպոլացիայի կորը պետք է անցնի հենակետային կետերով, այլ ոչ թե դրանց անմիջական հարևանությամբ: Կորի վատ սահունությունը և հատվածների միացման կետերում ածանցյալների շարունակականության բացակայությունը բացատրում են, թե ինչու ինտերպոլացիոն բազմանդամ կորերը հազվադեպ են օգտագործվում CG-ում: Բայց օգտագործելով նույն վերլուծության տեխնիկան, դուք կարող եք գտնել ավելի հարմար տեսակի կոր:

Խորանարդ ինտերպոլացիոն մակերեսի մի մասը

Երկխորանարդ մակերեսի հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

p(u, v) = ∑∑ ui v j cij .

i = 0 j = 0

Այստեղ c ij-ը երեք բաղադրիչ սյունակային մատրից է, որի տարրերն են x, y, z բաղադրիչների հավասարումների գործակիցները անկախ փոփոխականի նույն հզորությամբ: Եկեք սահմանենք 4x4 C մատրիցը այնպես, որ դրա տարրերը լինեն երեք բաղադրիչ սյունակային մատրիցներ.

C = [cij]:

Այնուհետև մակերեսի մի մասը կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ. p (u, v) = u T Cv,

Երկխորանարդ մակերեսի որոշակի հատվածը որոշվում է C մատրիցի տարրերի 48 արժեքներով - 16 եռաչափ վեկտորներ:

Ենթադրենք, որ կան 16 եռաչափ հենակետեր p ij, i= 0,..,3, j= 0,..,3 (նկ. 4.6.): Մենք կենթադրենք, որ այս տվյալները օգտագործվում են ինտերպոլացիայի համար հավասար քայլերով և՛ u, և՛ v անկախ պարամետրերի համար, որոնք ընդունում են 0, 1/3, 2/3, 1 արժեքներ:

մենք ստանում ենք 16 հավասարումների երեք հավաքածու՝ յուրաքանչյուրը 16 անհայտով: Այսպիսով, u=v= 0-ի համար մենք ստանում ենք

p 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00 .0

Բրինձ. 4.6. Ինտերպոլացիայի մակերեսի հատված

Պետք չէ լուծել այս բոլոր հավասարումները: Եթե ​​ֆիքսենք v = 0, ապա փոխելով u, ստանում ենք p 00, p 10, p 20, p 30 միջով անցնող կոր։ Օգտագործելով նախորդ բաժնում ստացված արդյունքները, մենք կարող ենք գրել հետևյալ հարաբերությունը այս կորի համար.

v= 1/3, 2/3, 1 արժեքների համար կարող են սահմանվել երեք այլ ինտերպոլացիայի կորեր, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է նկարագրել նույն կերպ: Համատեղելով բոլոր կորերի հավասարումները՝ մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող 16 հավասարումների համակարգը.

uT M I P = uT CAT,

որտեղ A-ն M I-ի հակադարձ մատրիցն է: Այս հավասարման լուծումը կլինի գործակիցների ցանկալի մատրիցը.

C = M I PM I T.

Փոխարինելով այն մակերեսային հավասարման մեջ՝ մենք վերջապես ստանում ենք p (u ,v ) = u T M I PM I T v:

Այս արդյունքը կարելի է տարբեր կերպ մեկնաբանել։ Դրանից բխում է, որ առաջին հերթին կորերի վերլուծությունից ստացված արդյունքները կարող են տարածվել համապատասխան մակերեսների վրա։ Երկրորդ, բազմանդամ խառնիչ ֆունկցիաների օգտագործման տեխնիկան կարող է տարածվել մակերեսների վրա.

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

i = 0 j = 0

4.5.5. Հերմիտի կորերի և մակերեսների ներկայացման ձևը

Թող լինեն p 0, p 3 կետերը և հատվածը համապատասխանում է u միջակայքին, այսինքն. հասանելի կետերը համապատասխանում են u =0 և u =1: Եկեք գրենք այն

երկու պայման.

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3.

Մենք ստանում ենք երկու այլ պայմաններ՝ նշելով գործառույթների ածանցյալների արժեքները u =0 և u =1 հատվածի ծայրահեղ կետերում.

p "(u) = c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3, ապա

p "0 = p" (0) = c 1,

p "3 = p" (1) = c 1 + 2 c 2 + 3 c 3.

Եկեք այս հավասարումները գրենք մատրիցային տեսքով.

հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

c = M H q,

որտեղ MH-ը կոչվում է ընդհանրացված հերմիտի երկրաչափության մատրիցա:

Արդյունքում մենք ստանում ենք բազմանդամ կորի ներկայացումներ հերմիտ ձևով.

p(u) = uT M H q.

Մենք կօգտագործենք հերմիտի ձևը՝ բարդ կորի հատվածները ներկայացնելու համար, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.7. Խոնարհման կետը ընդհանուր է երկու հատվածների համար, և, ի լրումն, կորի ածանցյալները խոնարհման կետում երկու հատվածների համար նույնպես հավասար են: Արդյունքում մենք ստանում ենք կոմպոզիտային կոր, որը շարունակական է առաջին ածանցյալի երկայնքով ամբողջ երկարությամբ:

p(0) p(1)=q(0)

Բրինձ. 4.7. Հերմիտի ձևի կիրառում հատվածների միացման համար

Հերմիտի ներկայացման ձևն օգտագործելիս ավելի հարթ կորեր ստանալու հնարավորությունը մաթեմատիկորեն կարելի է հիմնավորել հետևյալ կերպ. Բազմանդամը գրենք ձևով

p(u) = b(u) T q,

որտեղ է նոր խառնման ֆունկցիան

Այս չորս բազմանդամների զրոները գտնվում են միջակայքից դուրս, և, հետևաբար, խառնիչ ֆունկցիաները շատ ավելի հարթ են, քան ինտերպոլացիոն բազմանդամների դեպքում:

Մակերեւույթի մի մասը հերմիտ ձևով կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ.

p (u, v) = ∑∑ b i (u) b j (v) q ij,

i = 0 j = 0

որտեղ Q =[ q ij ] տվյալների մի շարք է, որը ներկայացնում է մակերեսի մի մասը այնպես, ինչպես q-ն ներկայացնում է կորի հատվածը: Q-ի չորս տարրերը ներկայացնում են p(u,v) ֆունկցիայի արժեքները մակերեսի անկյունային կետերում, իսկ մյուս չորսը պետք է ներկայացնեն ածանցյալները մակերեսին այդ անկյունային կետերում: Ինտերակտիվ հավելվածներում ցանկալի է, որ օգտագործողը նշի ոչ թե ածանցյալների տվյալները, այլ կետերի կոորդինատները, և, հետևաբար, առանց այդ տվյալների վերլուծական արտահայտություններ ձևակերպելու, մենք չենք կարողանա ածանցյալներ ստանալ:

Եթե ​​խոնարհման կետում p և q վեկտորների բոլոր երեք պարամետրային բաղադրիչների արժեքները հավասար են, ապա պարամետրային շարունակականությունդաս C 0.

Կորերը, որոնցում շարունակականության պայմանները բավարարված են և՛ արժեքի, և՛ առաջին ածանցյալի համար, ունեն C 1 դասի պարամետրային շարունակականություն։

Եթե ​​ածանցյալների բաղադրիչների արժեքները համաչափ են, ապա կա G 1 դասի երկրաչափական շարունակականություն:

Այս գաղափարները կարող են ընդհանրացվել ավելի բարձր կարգի ածանցյալների վրա:

G 1 դասի երկրաչափական շարունակականությամբ կորի ձևը կախված է խոնարհման կետում գտնվող հատվածներին շոշափողների երկարությունների համաչափության գործակիցից: Նկար 4.8-ում: Ցույց է տրվում, որ կորի հատվածների ձևը, որոնք համընկնում են վերջնակետերում և ունեն համամասնական շոշափող վեկտորներ այս կետերում, միանգամայն տարբեր են: Այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է գրաֆիկական գծագրման ծրագրերում:

p"(0) q(u) p"(1)

Բրինձ. 4.8. Շոշափող վեկտորի երկարության ազդեցությունը հատվածների ձևի վրա

4.5.6. Bezier կորեր և մակերեսներ

Կորերի համեմատությունը հերմիտ ձևով և ինտերպոլացիոն բազմանդամի տեսքով անհնար է, քանի որ օգտագործվում են դրանց ձևավորման համար

տարբեր բնույթի տվյալների հավաքածուներ: Փորձենք օգտագործել հղման կետերի միևնույն անսամբլը և՛ ինտերպոլացիայի բազմանդամը որոշելու, և՛ անուղղակիորեն սահմանելու կորերը հերմիտ ձևով: Արդյունքը Բեզիեի ձևի կորն է, որը լավ մոտարկում է հերմիտի ձևի կորին և որը կարելի է համեմատել միևնույն կետերի համույթի վրա ձևավորված ինտերպոլացիոն բազմանդամի հետ։ Բացի այդ, այս ընթացակարգը իդեալական է CG և CAD համակարգերում կոր օբյեկտների ինտերակտիվ կառուցման համար, քանի որ Բեզիեի ձևով կորի սահմանումը չի պահանջում ածանցյալներ նշել:

Bezier կորեր

Եռաչափ տարածության մեջ թող լինի չորս հղման կետ՝ p 0, p 1, p 2 և p 3: Ստեղծված կորի p (u) վերջնակետերը պետք է համընկնեն p 0, p 1 հղման կետերի հետ.

p 0 = p (0), p 3 = p (1):

Բեզիերն առաջարկել է օգտագործել երկու այլ հղման կետեր p 1 և p 2, որպեսզի նշվեն ածանցյալները հատվածի ծայրահեղ կետերում u = 0 և u = 1:

Բրինձ. 4.9. Շոշափող վեկտորների մոտարկում

Կիրառելով այս մոտարկումը պարամետրային բազմանդամ կորի երկու ծայրահեղ կետերում գտնվող շոշափողներին p (u) = u T c, մենք ստանում ենք երկու պայման.

3 p 1 − 3 p 0 = c 1,

3 p 3 − 3 p 2 = c 1 + 2 c 2 + 3 c 3.

Եկեք դրանք ավելացնենք գոյություն ունեցող պայմաններին, որպեսզի կորը համընկնի վերջնական կետերում.

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3:

Այսպիսով, մենք կրկին ունենք չորս հավասարումների երեք հավաքածու՝ յուրաքանչյուրը չորս անհայտով: Լուծելով դրանք նույն մեթոդով, ինչպես նախորդ բաժնում, մենք ստանում ենք.

c = M B p,

որտեղ M B-ն կոչվում է Բեզիերի երկրաչափական մատրիցա.

Արդյունքում մենք ստանում ենք բազմանդամ կորի ներկայացումներ Բեզիերի տեսքով.

p(u) = uT M B p.

Այս բանաձևը կարող է օգտագործվել կոմպոզիտային կոր ստեղծելու համար, որի հատվածները ինտերպոլացիոն բազմանդամներ են: Ակնհայտ է, որ Բեզիեի մեթոդով կառուցված կոմպոզիտային կորը կառավարման կետերի կամայական համույթի վրա պատկանում է C 0 դասին, բայց այն չի բավարարում C 1 դասի պահանջները, քանի որ. Խոնարհման կետի աջ և ձախ շոշափումները մոտավորվում են տարբեր բանաձևերի միջոցով:

Եկեք վերլուծենք կորի հատկությունները՝ օգտագործելով միաձուլման ֆունկցիաները։ Բազմանդամը գրենք հետևյալ ձևով.

p(u) = b(u) T p,

որտեղ նոր խառնիչ ֆունկցիան ունի ձևը (նկ. 4.10).

Այս չորս բազմանդամները հատուկ դեպքեր են Բերնշտայնի բազմանդամները:

b kd (u ) = k !(d d − ! k )! u k (1− u )d − k .

Բերնշտայնի բազմանդամների հատկությունները.

1) բոլոր զրոները կետերով u= 0 կամ u= 1;

2) p(u)-ը պետք է ընկած լինի չորս տրված կետերով ձևավորված ուռուցիկ բազմանկյուն թաղանթում, ինչպես ցույց է տրված Նկարում: 4.11. Այսպիսով, չնայած Բեզիեի կորը չի անցնում բոլոր նշված հսկիչ կետերով, այն երբեք չի անցնում այդ կետերով սահմանափակված տարածքից այն կողմ: Սա շատ հարմար է ինտերակտիվ տեսողական դիզայնի համար:

Մակերեւույթի մասերը Bezier վիճակում

Bezier մակերեսների մասերը կարող են ձևավորվել խառնուրդի գործառույթների միջոցով: Եթե ​​P = [ p ij ]-ը կառավարման կետերի զանգված է di-ով

չափում է 4x4, այնուհետև մակերեսի համապատասխան հատվածը Bezier ձևով նկարագրվում է հարաբերությամբ.

Մակերեւույթի մի մասը անցնում է անկյունային կետերով էջ00 , էջ03 , էջ30 Եվ էջ33 և չի տարածվում ուռուցիկ բազմանկյունից այն կողմ, որի գագաթները հղման կետերն են: Տասներկու հսկիչ միավոր 16-ից

կարող է մեկնաբանվել որպես տվյալներ, որոնք որոշում են ածանցյալների ուղղությունը մակերեսի ձևավորված հատվածի անկյունային կետերում տարբեր պարամետրերի նկատմամբ:

4.6. Բազմանկյուն մոդելների կառուցման օրինակ

Քննարկվող խնդիրը՝ բազմանկյուն ցանցերով սահմանված երկրաչափական մոդելների ներկայացումը, կարելի է բաժանել հետևյալ փուլերի.

1) մոդելի (տվյալների կառուցվածքների) մշակում՝ տեսարանը ներկայացնելու համար.

2) մոդելի պահպանման համար ֆայլի ձևաչափի մշակում;

3) Ստեղծված տեսարանները դիտելու ծրագիր գրելը;

4) գրել ծրագիր՝ առաջադրանքի տարբերակին համապատասխան օբյեկտների բազմանկյուն մոդելներ ստեղծելու համար:

4.6.1. Բազմանկյուն մոդելային տվյալների կառուցվածքների մշակում

Մոդելի հետևյալ տարրերը կարելի է առանձնացնել՝ կետ, բազմանկյուն, առանձին առարկայի մոդել, տեսարան (իրար համեմատ տվյալ դիրք ունեցող առարկաների հավաքածու)։

1) կետը նկարագրվում է երեք կոորդինատներով.

2) Բազմանկյունը, ընդհանուր առմամբ, կամայական ուռուցիկ բազմանկյուն է: Մենք կօգտագործենք դրա հատուկ պատյանը՝ եռանկյունին: Մեր ընտրությունը հիմնավորված է նրանով, որ հետագա ստվերավորման ալգորիթմները հետՆրանց աշխատանքի համար կպահանջվեն Z-բուֆերներ, եռանկյունաձև

եզրերը և գնալով ավելի բարդ բազմանկյունները պետք է բաժանվեն:

typedef struct Պոլիգոն (

int միավորներ; //երեք գագաթների ինդեքսները, որոնք կազմում են //բազմանկյունը, գագաթները պահվում են մոդելի գագաթների ցանկում.

3) Առանձին օբյեկտի մոդելը կետերի և գագաթների ցանկն է.

typedef struct Model3D (

Պոլիգոն Բազմանկյուններ; //բազմանկյունների զանգված

4) Տեսարանն իրենից ներկայացնում է առարկաների ամբողջություն, որոնք ունեն տվյալ դիրքը միմյանց նկատմամբ: Ամենապարզ դեպքում դուք կարող եք օգտագործել

օբյեկտների ցանկ (զանգված), օրինակ,

4.6.2. Մոդելի պահպանման համար ֆայլի ձևաչափի մշակում

Տեսարաններ և մոդելներ պահելու և մշակելու համար հարմար է օգտագործել տարբեր բաժիններից բաղկացած տեքստային ֆայլեր։ Բաժինները կարելի է առանձնացնել հիմնաբառերով, որոնք հեշտացնում են ֆայլերի ընթերցումն ու խմբագրումը, ինչպես նաև թույլ են տալիս մոդելի համար նշել տեղեկատվության միայն մի մասը: Լավ օրինակ է DXF ձևաչափը, որն օգտագործվում է CAD համակարգերի միջև գծագրեր փոխանակելու համար: Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.

որտեղ առաջին համարը N տեսարանի ֆայլի մոդելների թիվն է: Հաջորդը գալիս է N մոդելները: Մոդելների նկարագրության մեջ առաջին թիվը K գագաթների թիվն է: Այնուհետև կոորդինատները թվարկվում են հաջորդաբար:

x,y,z բոլոր K գագաթներից: Դրանից հետո գալիս է G թիվը, որը նշում է մոդելի դեմքերի թիվը: Դրան հաջորդում են G տողերը, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է եռանկյուն դեմքը կազմող երեք գագաթների ինդեքսները։

4.6.3. Դիտեք ստեղծված տեսարանները

Ստեղծված տեսարաններն ուղղագրական պրոյեկցիայում դիտելու համար մշակվել է հետևյալ ծրագիրը.

#ներառում #ներառում #ներառում #ներառում

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //Մաքս. տեսարանի մոդելների թիվը const int MAX_POINT_COUNT =100; //Մաքս. մոդելի միավորների քանակը կազմում է MAX_POLY_COUNT =100; //Մաքս. մոդելի դեմքերի քանակը

typedef struct Point (կրկնակի x, y, z;

typedef struct Պոլիգոն (

int միավորներ; //բազմանկյունը կազմող երեք գագաթների ինդեքսները

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;// բազմանկյունների թիվը մոդելում

Պոլիգոն Բազմանկյուններ; //բազմանկյունների զանգված

Model3D մոդելներ; //մոդելների զանգված

//ֆայլից տեսարան կարդում է ֆունկցիան

void LoadScene (Scene3D &scene, const char * ֆայլի անունը)

եթե ((f = fopen (ֆայլի անուն, «rt»)) == NULL)

fprintf(stderr, «Հնարավոր չէ բացել մուտքային ֆայլը։\n»); ելք (1);

//կարդալ մոդելների քանակը ֆայլում fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

համար (int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scene.Models[m]; //մոդելի կետերի ցանկի բեռնում fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

համար (int i = 0; i< model->PointCount; ++i)

fscanf (f, «%lf%lf%lf», &p.x, &p.y, &p.z); մոդել->Կետեր[i] = p;

Բազմանկյուն *p = &(model->Polygons[i]); fscanf(f, «%d%d%d», &(p->Points),

&(p->Points), &p->Points);

//ցուցադրել լարային շրջանակ //մոդել ուղղագրական պրոյեկցիայում

//թերություն - բոլոր եզրերը երկու անգամ գծված են դատարկ DrawWireFrameScene (const Scene3D &scene)

համար (int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Models[m]; համար (int i = 0; i< model->PolygonCount; ++i)

const Polygon *poly = &model->Polygons[i];

//initialize գրաֆիկական ռեժիմը void InitGraphMode(void)

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; initgraph (&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

եթե (սխալի կոդը != grOk) // տեղի է ունեցել սխալ

printf ("Գրաֆիկական սխալ. %s\n", grapherrormsg (սխալի կոդը));

printf («Սեղմեք ցանկացած ստեղն՝ դադարեցնելու համար:»);

Scene3D տեսարան; LoadScene (տեսարան, «model.dat»); InitGraphMode (); DrawWireFrameScene (տեսարան); getch ();

Տրված օրինակը թույլ է տալիս բեռնել նկարագրված ձևաչափով նշված տեսարանները և ցուցադրել դրանք ուղղագրական պրոյեկցիայում: Այն ցույց է տալիս պոլիգոնների մոդելների հետ աշխատելու հիմնական սկզբունքները:

Բայց պարզությունը բարելավելու պարզեցման շնորհիվ այն ունի հետևյալ նշանակալի թերությունները.

1) գագաթների, դեմքերի, մոդելների թիվը ուղղակիորեն նշված է ծրագրում, և պետք է օգտագործվի դինամիկ հիշողություն, օրինակ՝ դինամիկ միաչափ զանգված, որի հիշողությունը կհատկացվի տեսարանը բեռնելիս:

2) եթե կան մի քանի նույնական մոդելներ, որոնք տարբերվում են տարածության մեջ միայն դիրքով և կողմնորոշմամբ, ապա դրանց երկրաչափությունը նկարագրող տվյալները կրկնօրինակվում են, օրինակ՝ ոլորտների մի քանի մոդելներ։ Ցանկալի է մոդելը բաժանել երկու բաղադրիչի. Տիեզերքում գտնվող օբյեկտի կոնկրետ օրինակ:

3) տվյալների կառուցվածքների նկարագրությունը և դրանց աջակցող մեթոդները պետք է առանձնացվեն առանձին մոդուլի մեջ, այնուհետև այն կարող է օգտագործվել, օրինակ, պրիմիտիվ սերնդի ծրագրերում

Այսպիսով, ներկայումս գերակշռում են բազմանկյուն երկրաչափական մոդելները: Դա պայմանավորված է նրանց ծրագրային ապահովման և ապարատային ներկայացման պարզությամբ: Հնարավորությունների մշտական ​​աճի շնորհիվ

հաշվողական տեխնոլոգիաները մի կողմից, իսկ մյուս կողմից՝ մոդելների որակի պահանջները, ինտենսիվ հետազոտություններ են իրականացվում նոր տեսակի մոդելների վրա։

Թեստային հարցեր և վարժություններ

1. Ինչպե՞ս են երկրաչափական մոդելները տարբերվում այլ տեսակի մոդելներից:

2. Անվանե՛ք երկրաչափական մոդելի հիմնական բաղադրիչները:

3. Ինչպե՞ս են կոորդինատային մոդելները տարբերվում վերլուծական մոդելներից:

4. Ինչ տեսակի երկրաչափական մոդելներ կան:

5. Ինչու՞ են տարածված բազմանկյուն մոդելները:

6. Բազմանկյուն մոդելի որոշման ի՞նչ մեթոդներ գիտեք:

7. Ի՞նչ թերություններ և սահմանափակումներ ունեն բազմանկյուն մոդելները:

8. Իրականացնել ալգորիթմներ տասներկուանիստների, իկոսաեդրոնների և գնդերի բազմանկյուն մոդելների կառուցման համար:

9. Առաջարկել ալգորիթմ տորուսի բազմանկյուն մոդելի կառուցման համար:

10. Ինչպե՞ս կարող եք նվազեցնել պահվող տվյալների քանակը:

Վհամակարգչային հիշողությո՞ւն, միանման բազմանկյուն մոդելների կրկնակի օգտագործմամբ:

Ռելիեֆային բազմանկյունը կոչվում է դրական բազմանկյուն, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար են, դրական բազմանկյուններ, և նույն թվով եզրեր միանում են նրա ամբողջ գագաթին: Կան հինգ կանոնավոր բազմաեդրներ՝ քառաեդրոն, ութանիստ, իկոսաեդրոն, վեցանկյուն (խորանարդ) և դոդեկաեդրոն։ Իկոսաեդրոնը բազմանիստ է, որի դեմքերը քսան հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Հրահանգներ

1. Շինության համար իկոսաեդրոնԵկեք օգտագործենք խորանարդի կառուցումը: Նրա դեմքերից մեկը նշենք որպես SPRQ:

2. Գծե՛ք երկու հատված AA1 և BB1, որպեսզի նրանք միացնեն խորանարդի եզրերի միջնակետերը, այսինքն՝ որպես = AP = A1R = A1Q = BS = BQ:

3. AA1 և BB1 հատվածների վրա դրեք n երկարությամբ CC1 և DD1 հավասար հատվածներ, որպեսզի դրանց ծայրերը լինեն հավասար հեռավորության վրա խորանարդի եզրերից, այսինքն. BD = B1D1 = AC = A1C1:

4. CC1 և DD1 հատվածները շինարարության եզրերն են իկոսաեդրոնԱ. Կառուցելով CD և C1D հատվածները, դուք կստանաք դեմքերից մեկը իկոսաեդրոնա – CC1D.

5. Կրկնեք 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ կոնստրուկցիաները խորանարդի բոլոր երեսների համար - արդյունքում դուք կստանաք կանոնավոր պոլիէդրոն, որը գրված է խորանարդի մեջ. իկոսաեդրոն. Վեցանկյունի օգնությամբ կարելի է կառուցել ցանկացած կանոնավոր բազմանիստ։

Իկոսաեդրոնը կանոնավոր բազմանկյուն է։ Նման երկրաչափական պատկերն ունի 30 եզր, 20 եռանկյուն երես և 12 գագաթ, որոնք հինգ եզրերի միացումն են։ Թղթից իկոսաեդրոն հավաքելը բավականին դժվար է, բայց շատ հուզիչ: Այն կարող է պատրաստվել ծալքավոր, փաթեթավորման կամ գունավոր թղթից կամ փայլաթիթեղից: Օգտագործելով տարբեր նյութեր՝ դուք կարող եք ավելի մեծ ազդեցություն և գեղեցկություն հաղորդել ձեր իկոսաեդրոնին:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - իկոսաեդրոնի դասավորությունը;
• - թուղթ;
• - մկրատ;
• - քանոն;
• - PVA սոսինձ:

Հրահանգներ

1. Տպեք իկոսաեդրոնի դասավորությունը թղթի վրա, այնուհետև կտրեք այն կետավոր գծերի երկայնքով: Դա անհրաժեշտ է, որպեսզի ազատ տարածություն մնա գործչի մասերը միմյանց սոսնձելու համար: Փորձեք հնարավորինս հանգիստ կտրել իկոսաեդրոնը, ընդհակառակը, ամենափոքր տեղաշարժի դեպքում ձեր արհեստը տգեղ տեսք կունենա: Շատ կոկիկ կտրելու անհրաժեշտությունը պայմանավորված է նրանով, որ կանոնավոր իկոսաեդրոնի բոլոր եռանկյուններն ունեն նույնական կողմեր: Հետևաբար, եթե որևէ կողմ սկսի տարբերվել իր երկարությամբ, արդյունքում չափերի նման անհամապատասխանությունը անտեսանելի կլինի։

2. Սրբապատկերը ծալեք ամուր գծերով, այնուհետև սոսինձով կպցրեք կետագծով ուրվագծված տեղերը և միացրեք եռանկյունների հարակից կողմերը միմյանց հետ։ Ավելի ամուր ամրագրման համար յուրաքանչյուր սոսնձված կողմ պետք է պահվի այս վիճակում 20 վայրկյան: Ճիշտ է, որ իկոսաեդրոնի բոլոր մյուս կողմերը պետք է սոսնձվեն նույն կերպ։ Վերջին երկու կողիկներն ամենադժվարն են սոսնձվում, քանի որ դրանք միացնելու համար համբերություն և հմտություն են պահանջում: Ձեր թղթե իկոսաեդրոնը պատրաստ է:

3. Նման երկրաչափական պատկեր կարելի է տեսնել առօրյա կյանքում: Օրինակ, ֆուտբոլի գնդակը պատրաստվում է կտրված պատկերապատիկի տեսքով (բազմանկյուն, որը բաղկացած է 20 վեցանկյուններից և 12 հնգանկյուններից): Սա հատկապես անտեսանելի է դառնում, եթե ստացված իկոսաեդրոնը ներկված է սև ու սպիտակ գույնով: Դուք կարող եք ինքներդ թղթից ֆուտբոլի գնդակ պատրաստել՝ նախօրոք 2 օրինակով կտրված իկոսաեդրոնի սկանավորումը տպելով:

4. Թղթից իկոսաեդրոն պատրաստելը հետաքրքիր գործընթաց է, որը պահանջում է համբերություն, մտածվածություն և շատ թուղթ։ Բայց արդյունքում ստացված արդյունքը երկար ժամանակ կուրախացնի աչքը։ Թղթե իկոսաեդրոն կարող է տրվել որպես զարգացման խաղալիք 3 տարեկան հասակում լրացած երեխային։ Այս երկրաչափական պատկերի հետ խաղալով՝ փոքրիկը ոչ միայն տարածական հմտություններ և երևակայական մտածողություն կզարգացնի, այլև ավելի կծանոթանա երկրաչափական աշխարհին։ Մեծահասակների համար սեփական ձեռքերով թղթե իկոսաեդրոն կառուցելու ստեղծագործական գործընթացը թույլ կտա ժամանակն անցկացնել, ինչպես նաև զարմացնել ձեր սիրելիներին դժվար ֆիգուրներ պատրաստելու գիտելիքներով:

Օգտակար խորհուրդ
Թղթե իկոսաեդրոն պատրաստելիս պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնել դրա կողերը թեքելու գործընթացին։ Թուղթը հավասարաչափ թեքելու համար կարելի է սովորական քանոն օգտագործել։

Ութանիստը չորս իսկական պոլիեդրներից մեկն է, որին մարդիկ դեռ հին ժամանակներում կախարդական նշանակություն էին տալիս: Այս պոլիէդրոնը խորհրդանշում էր օդը: Octahedron-ի ցուցադրական մոդելը կարելի է պատրաստել հաստ թղթից կամ մետաղալարից:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - հաստ թուղթ կամ ստվարաթուղթ;
• - քանոն;
• - մատիտ;
• - անկյունաչափ;
• - մկրատ;
• - PVA սոսինձ:

Հրահանգներ

1. Ութանիստն ունի ութ դեմքեր, որոնք բոլորը հավասարակողմ եռանկյունի են։ Երկրաչափության մեջ ութանիստը սովորաբար կառուցվում է, գրվում է խորանարդի մեջ կամ նկարագրվում դրա շուրջը։ Այս երկրաչափական մարմնի մոդելը պատրաստելու համար դժվար հաշվարկներ չեն պահանջվում։ Ութանիստը բաղկացած կլինի 2 միանման քառանիստ բուրգերից, որոնք սոսնձված են իրար:

2. Թղթի վրա քառակուսի նկարեք: Նրա կողմերից մեկում կառուցեք դրական եռանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են, իսկ բոլոր անկյունները՝ 60°: Հարմար է եռանկյունի կառուցել՝ օգտագործելով անկյունաչափ՝ մի կողմ դնելով նույն կողմին հարող քառակուսու 60° անկյունները: Նկարներ գծիր նշանների միջով: Խաչմերուկից կետը կլինի երրորդ անկյունը, իսկ ապագայում՝ բուրգի գագաթը։ Կառուցեք նույն եռանկյունները քառակուսու մնացած կողմերի վրա:

3. Դուք ստիպված կլինեք սոսնձել բուրգը միասին: Սա կպահանջի նպաստներ: Չորս հավելավճարը բավական է՝ մեկական յուրաքանչյուր եռանկյունու համար։ Կտրեք այն, ինչ ունեք: Կատարեք երկրորդ նմանատիպ կտոր: Ծալովի գծերը ծալեք դեպի սխալ կողմը:

4. Եռանկյուններից յուրաքանչյուրը ծալեք դեպի սխալ կողմը: Կիրառեք PVA սոսինձը նպաստների վրա: Սոսնձեք երկու նույնական բուրգեր և թող չորանան:

5. Այժմ մենք պետք է սոսնձենք բուրգերը: Դրանցից մեկի քառակուսի հատակը սոսինձով քսել, 2-րդի ստորին հատվածը սեղմել՝ կողերն ու անկյունները հավասարեցնելով։ Թող ութանիստը չորանա:

6. Լարային ութանիստ մոդել պատրաստելու համար ձեզ հարկավոր կլինի ստվարաթուղթ կամ փայտե քառակուսի: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք յոլա գնալ սովորական եռանկյունու միջոցով, որպեսզի աշխատանքային մասը ճիշտ անկյան տակ թեքեք, դա բացարձակապես բավարար է: Լարը թեքեք քառակուսու մեջ:

7. Կտրեք քառակուսու 2 կողմի չափով 4 միանման մետաղալարեր, գումարած դրանք միմյանց 2 կետով ամրացնելու և, անհրաժեշտության դեպքում, քառակուսու անկյուններին ամրացնելու համար: Դա կախված է մետաղալարից: Եթե ​​նյութը կարելի է զոդել, ապա եզրերի երկարությունը հավասար է քառակուսու կողմի կրկնապատիկին՝ առանց որևէ հավելավճարի:

8. Գտեք կտորի կեսը, քամեք կամ կպցրեք այն քառակուսու անկյունին: Մնացած կտորները նույն կերպ ամրացրեք։ Քառակուսի հիմքի մի կողմի կողերի ծայրերը միացրեք միմյանց։ Դրական եռանկյունները կհայտնվեն ինքնուրույն։ Նույն գործողությունը կատարեք հիմքի մյուս կողմում գտնվող կողերի ծայրերով։ Ութանիստը պատրաստ է։

Օգտակար խորհուրդ
Նմանատիպ մոդելների համար դուք պետք է ընտրեք մետաղալար, որը լավ է պահում իր ձևը:

Օրիգամիի արվեստը մեզ մոտ եկավ Հին Չինաստանից: Նրանց ձևավորման արշալույսին թղթից պատրաստում էին կենդանիների և թռչունների պատկերներ։ Բայց այսօր հնարավոր է ստեղծել ոչ միայն դրանք, այլեւ բարդ երկրաչափական պատկերներ։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - A4 թղթի թերթիկ
• - մկրատ

Հրահանգներ

1. Եռաչափ երկրաչափական պատկեր՝ ութանիստ արտադրելու համար անհրաժեշտ է քառակուսի թղթի թերթիկ։ Դուք կարող եք այն պատրաստել սովորական A4 թերթիկից: Դա անելու համար թերթիկի վերին աջ կամ ձախ անկյունը թեքեք հակառակ կողմին: Նշում կատարեք թղթի վրա: Թերթի ամուր կողմին զուգահեռ գիծ գծեք ձեր պատրաստած նշանի երկայնքով: Կտրեք անցանկալի թղթի կտորը: Քառակուսին կիսով չափ ծալեք:

2. Տեղադրեք վերին աջ անկյունը կենտրոնական ծալքի վրա: Հավասարեցրեք վերին ձախ անկյունը, որպեսզի ծալովի գիծը անցնի կցված վերին աջ անկյունով:

3. Քառակուսու ներքևի ձախ անկյունը ծալեք դեպի կենտրոնական գիծը: Ներքևի աջ անկյունը հավասարեցնելով վերևի անկյուններին նման, ծալեք: Որից հետո աշխատանքային մասը պետք է շրջվի:

4. Կտորի ներքևի աջ անկյունը և վերին ձախ անկյունը ծալեք դեպի կենտրոնական ծալք: Ձեռքով արդուկեք աշխատանքային մասը և շրջեք այն մյուս կողմը:

5. Հավասարեցրեք վերին և ներքևի կողմերը ստացված ծալման գծով: Հարթեցրեք աշխատանքային մասը ձեր ձեռքով:

6. Նկարի կողմերը թեքեք դեպի քառակուսի միջին գիծը։ Շրջեք կտորը հակառակ կողմի վրա:

7. Կտորը ներքևից վերև ծալեք հորիզոնական գծի երկայնքով: Արդյունքը պետք է լինի լատիներեն «V» տառին նմանվող գործիչ:

8. Ձախ կողմը ներքև ծալեք կենտրոնական եռանկյունու ձախ կողմի երկայնքով: Աջ կողմը ներքև ծալեք կենտրոնական եռանկյունու աջ կողմի երկայնքով:

9. Նկարի վերին կողմերում գծեր պատրաստեք: Շերտերի ծալման կետը կսկսվի «V»-ի ներքին կտրվածքի ստորին կետից:

10. Վերին ձախ անկյունը ծալեք դեպի շերտի ծալման գիծը: Այնուհետև շերտը ծալեք ներքև: Նույն կերպ ծալեք աջ անկյունը և քերթեք։

11. Ձախ կողմը ծալեք ներքև:

12. Նկարում պատկերված են ութանիստը հավաքելու գրպանները և ներդիրները:

13. Ութանիստ կառուցելու համար անհրաժեշտ է պատրաստել 4 այդպիսի մոդուլ։ Հավասարեցրեք երկու մոդուլները անկյան տակ, դուրս ցցված մասերը խրելով գրպանների մեջ: Դրանից հետո հավաքեք բոլոր 4 մոդուլները միասին:

14. Արդյունքում ստացվում է երկրաչափական պատկեր, որը կոչվում է ութանիստ: